问题标题:
一个正四边形在其四个边上分别任取四个点,然后擦去四条边,求怎样求出原先的正方形?
更新时间:2024-03-29 09:39:12
问题描述:
一个正四边形在其四个边上分别任取四个点,然后擦去四条边,求怎样求出原先的正方形?
刘瑞峰回答:
是可以的.
四边形每条边都与原来的正方形的边组成一个直角三角形.
一共有四个这样的直角三角形
四边形的边是这4个直角三角形的斜边
当仅已知四边形的时候,以每条四边形的边为直径做圆,一共做四个.那么正方形的四个顶点一定分别在这四个圆上.(因为与两点连线互相垂直的点的轨迹就是一个圆).
在一个圆上任取一点A,那么连接这点与所在圆的直径的两个端点,然后再延长这两条线段,与另外的两个圆又交于两点.这两点与A连接的线段长应该相等(正方形边长相等).让A变动所在圆上的位置,只有一个位置能保证两线段相等.于是确定点A的位置.这样就能恢复出正方形了.
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如果要确定A点的位置.要用到些三角函数的知识.
下面的思路是,先求出表达式来,然后再寻找用尺规做出表达式来的方法.
这里不太好画图.我用字母来说好了.
设四边形MNPQ(字母顺时针排列!).以MN为斜边的直角三角形另一个顶点为U,以QM为斜边的顶点为W,以NP为斜边的顶点为V.
为了运算方便,设下面的常量:
角QMN大小为A,角MNP大小为B,MQ长b,MN长a,NP长c.
设变量角UNM=x
则角UMN=90-x,角WMQ=180-A-(90-x),
角PNV=180-B-x
MU+WM=UN+NV
列方程:
bcos(90-A+x)+asinx=acosx+ccos(180-B-x)
打开,整理得:
sinx/cosx=(a-ccosB-bsinA)/(a-bcosA-csinB)
接下来就是用尺规做出来.
x是某个直角三角形的一个锐角.
这个直角三角形的x所对的边长为a-ccosB-bsinA
这每一项都能用尺规做出来(你可以看三角函数的定义).于是可以用尺规做出这条边长.
x相邻的直角边长为a-bcosA-csinB,同理可以做出来.
于是得到了角x的大小.你再用尺规做两角相等移到定点N处,再做四条直线.正方形就恢复了.